PoLiNoMiOs

Monday, July 18, 2005

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1. Define Polinomio en R. Clases. Ejemplos

En álgebra, un polinomio es una función de la forma

f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0

donde x es una variable escalar, n es un entero no negativo y los a0,...,an son escalares fijos que reciben el nombre de coeficientes del polinomio f. La potencia más alta de x (n si el coeficiente an es distinto de cero) se denomina grado de f.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio"

Clases de Polinomios:

Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos. Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio. Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio y si tiene tres términos se llama trinomio. Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contiene.

Ejemplos:

Monomios

Binomios

Trinomios

3x

7x - 4

n2 + 3n + 2

25

3a + 5b

3x4 – x3 + 5x2

-9x2y3

n2 – 3n

4xy + 9xy2 – 11xy4

El polinomio 8x3 + 5x2 - 3x + 7 es un polinomio de cuatro términos. *

2. Aplicaciones


3. Investiga sobre: (Sustenta con ejemplos)

3.1. Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto

Grado Relativo:

Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:

4a3b2En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.
GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
x5y3z

En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x5y3y1
GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

Grado Absoluto:

Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para comprender mejor:

4a3b2El Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b:
GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)
x5y3zRecordamos que el exponente de la letra y es 1: x5y3y1
GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)


3.2. Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas.

Grado Relativo:

Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:

4a3b2 +5a5bEn este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.
4a3b2 +5a5b1Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"
4a3b2 +5a5b1Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)
GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
4a3b2 +5a5b1Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).
GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer termino y otro del segundo.

Grado Absoluto:

Sigamos con el mismo ejemplo:

4a3b2 +5a5bEste ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.
4a3b2 +5a5b1Completo los exponentes que "no se ven" con 1.
4a3b2 +5a5b1Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.
4a3b2 +5a5b1Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.
4a3b2 +5a5b1Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

*

3.3. Polinomios especiales

Los polinomios especiales son los siguientes:

Polinomio Homogéneo: Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado.

Ejemplo:

P(x,y) = x^5 y^3 + x^2 y ^6 + xy^7
x^5 y^3 = monomio de grado 8
x^2 y ^6= monomio de grado 8
xy^7= monomio de grado 8.

Polinomio Heterogéneo:

Es aquel en el cual todos sus términos no tienen el mismo grado.

Ejemplo:

P(x,y) = x^5 y^3 + x^2 y ^6 + xy^7

x^5 y^3 = monomio de grado

x^2 y ^6= monomio de grado

xy^7= monomio de grado

Polinomio Ordenado:

Un polinomio es ordenado respecto a una variable, si los exponentes de ella van aumentando (ascendente) o disminuyendo (descendente).

Ejemplo:

7x^4 - 8 x^3 + x^2 - 3x; es descendente respecto a X.
15x^6 - 3x^5 y + 6x^4 y^2 - 2x^3 y^3; es descendente respecto a x y ascendente respecto a y.

Polinomio Completo:

Un polinomio es completo respecto a una variable, si tienen todos sus exponentes desde el mayor en forma sucesiva hasta el exponente cero.

Ejemplo:

5x - 6; polinomio de grado uno cuyo número de términos es 2.
8x^2 - 6x + 1; polinomio de grado 2; cuyo número de términos es 3.

Polinomio Idéntico: Dos polinomios reducidos son idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

Ejemplo:

Si: Ax^4 + Bx^2 + C = px^4 + qx^2 + r
Se debe cumplir : A = p ; B= q ; C= r

Polinomio Idénticamente nulo: Un polinomio reducido es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero.

Ejemplo:

Si: Ax^4 + Bx^2 + Cx + D = 0 ; se debe cumplir que = A = B = C = D = 0

*


3.4. Operaciones con polinomios:

Suma o adición de polinomios

Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama suma o adición a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos.

Ejemplo 1: Dados los polinomios

hallar S(x) = A(x) + B(x)

Una manera práctica de resolución es disponer los polinomios ordenados, encolumnando los monomios de igual grado

Como cada término de la suma S(x) se obtiene sumando los coeficientes de los monomios de igual grado, se puede escribir que

por lo tanto queda

Otra forma de resolver es

S(x) = A(x) + B(x) =

eliminando los paréntesis queda

operando con los coeficientes, se obtiene


Sustracción

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo: Para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores:
(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x )
Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5

Multiplicación

Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados.
Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.
En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.

Ejemplo:

Polinomios

En la práctica no suele indicarse la multiplicación como en esta imagen, sino que suelen colocarse todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. Así:

( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) · (x + 1) = (-2x4 +3x3 -2x2 + 5x - 2x3 + 3x2 - 2x + 5) = - 2x4 + x3+ x2 +3x + 5

*

Productos notables: casos, Identidades de Legendre

Binomio de Suma al Cuadrado

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

Binomio Diferencia al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

Diferencia de Cuadrados

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

Binomio Suma al Cubo

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

Binomio Diferencia al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

Suma de dos Cubos

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

3.5. Ejercicios y problemas aplicativos


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